Eine Funktion : →, ⊆ heißt konvex, wenn ihr Epigraph eine konvexe Menge ist. Diese Definition hat gewisse Vorteile für erweiterte reelle Funktionen, welche auch die Werte ± ∞ annehmen können, und bei denen mit der analytischen Definition der undefinierte Term (+ ∞) + (− ∞) auftreten kann.

Für eine monoton steigende und konvexe (konkave) Funktion ist die Umkehrfunktion konkav (konvex). Jede lineare Funktion ist konvex und konkav. Die Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktion sind weder konvex noch konkav. Sind f und g zwei konvexe (konkave) Funktionen, so ist auch jede Linearkombination af+bg mit a,b є . R + wieder konvex (konkav).

Bemerkung. Ist ϕ: (a,b) → R konvex, dann ist ϕ stetig auf (a,b) . Beweis. Ubung.¨ Bemerkung. Sei ϕ: (a,b) → R konvex und a < … Wesentliche Aussagen zu konvexen und konkaven Funktionen finden sich bereits 1889 bei Otto Hölder, wobei er aber noch nicht die heute üblichen Bezeichnungen verwendete. Die Begriffe konvexe und konkave Funktion wurden 1905 von Johan Ludwig Jensen eingeführt.

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R + wieder konvex (konkav). Se hela listan på de.wikibooks.org Eine quasikonvexe Funktion ist eine reellwertige Funktion, die auf einer konvexen Teilmenge eines reellen Vektorraums definiert ist und die Eigenschaft konvexer Funktionen verallgemeinert, dass alle ihre Subniveaumengen konvex sind. Ähnlich wie bei den konvexen Funktionen definiert man als Gegenstück die quasikonkave Funktion.

Sei eine reellwertige Funktion auf einer konvexen Teilmenge eines reellen topologischen Vektorraums. Ist f {\displaystyle f} stetig, so reicht für die Konvexität von f {\displaystyle f} bereits die Bedingung, dass ein beliebiges, aber fixes λ ∈ R {\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} } mit 0 < λ < 1 {\displaystyle 0<\lambda <1} existiert, sodass für alle x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} aus C {\displaystyle C} gilt:

konkave Funktionen, indem wir mit Hilfe der Ableitungsregeln die ersten und zweiten Ableitungen dieser Funktionen berechnen. (i) F˜ur n2Ngilt: (xn)0= 18.4 nxn¡1;(xn)00= 18.4 n(n¡1)xn¡2; (ii) F˜ur b2Rgilt (xb)0 = 18.11(ii) bxb¡1;(xb)00 = 18.11(ii) b(b¡1)xb¡2; (iii) (ln(x))0 = 18.11(i) 1 xjR+;(ln(x))00 = 18.11(ii) ¡1 x2 jR+; (iv) (ex)0= 18.5 ex;(ex)00= De nition 2.6.

3. Die Funktion x7!x p q werden wir sp ater mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Di erentialrechnung untersuchen (vgl. auch Korollar 2.4.25) Bemerkung 2.4.3 Wenn f: I!RLipschitz-stetig ist, so bildet f Cauchy-Folgen in Cauchy-Folgen ab. Beweis. Klar Bemerkung. Den Begri Lipschitz-stetig kann man genauso f ur Funktionen f : I\Q!Rerkl aren.

In elementaren Büchern zum ,,Calculus `` findet man manchmal die Veranschaulichung der stetigen Funktionen als Funktionen, deren Graph man mit einem Stift ohne abzusetzen zeichnen kann. Etwas besser entsprechen die stückweise konvexen oder konkaven Funktionen, die an den Anschlußstellen stetig zusammenpassen, dieser Vorstellung. Eine auf einem offenen Intervall definierte, konvexe bzw. konkave Funktion ist lokal Lipschitz-stetig und somit nach dem Satz von Rademacher fast überall differenzierbar.

Dr. Sven Rahmann LS 11, Fakult at f ur Informatik, TU Dortmund 2009{2010 Entwurf vom 17. Mai 2010 Konvexe Funktionen - Mathematik / Analysis - Hausarbeit 2007 - ebook 8,99 € - GRIN sie in dem ganzen Raum stetig; ist eine konvexe Funktion in einem Punkt Beweis.
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16 8 Differenzierbarkeit konvexer Funktionen. 32. 9 Konvexe Beweis: Sei l nichtkonstant (konstante Funktionen sind stetig). Im Fall   Beweis. Aus der Monotonie (A3) folgt a + c

Jensen verwendete allerdings eine schwächere Definition, die noch gelegentlich, vor allem in älteren Werken, zu finden ist. Es seien : [,] → und : [,] → zwei Funktionen, die auf dem abgeschlossenen Intervall [,] (mit <) definiert und stetig und auf dem offenen Intervall (,) differenzierbar sind. Unter diesen Voraussetzungen existiert mindestens ein x 0 ∈ ( a , b ) {\displaystyle x_{0}\in (a,b)} , so dass Aufgabe: Beweisen Sie dass eine konvexe Funktion in einem Intervall [a,b] auch integrierbar in diese Intervall ist.
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Eine zweimal stetig differenzierbare Funktion ist streng konkav, wenn für alle x \in X = \mathbb{R} gilt: F''(x) < 0. Das bedeutet also, dass die Funktion streng 

Beweis: Sei f: X!Y Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante L. Dann gilt Konvexe Optimierung Prof. Dr. Sven Rahmann LS 11, Fakult at f ur Informatik, TU Dortmund 2009{2010 Entwurf vom 17. Mai 2010 Sei K⊆ℝn eine konvexe Menge mit inneren Punkten und f :K →ℝ zweimal stetig differenzierbar, dann gilt f ist genau dann konvex (streng konvex) auf K, wenn die Hesse-Matrix H(x) für alle x∈K positiv semidefinit (positiv definit) ist. Satz 7.7 (Konvexitätskriterium II) Sei K ⊆ℝn konvexe Menge, f : K→ℝ stetig differenzierbar 17.3 Stetige Differenzierbarkeit Wie wir in gesehen haben, ist das Verschwinden der Ableitung eine notwendige Bedingung dafür, daß ein Stelle ist, wo ein Minimum oder Maximum hat. Um allerdings entscheiden zu können, ob ein solches nun wirklich vorliegt … Analysis I Aktuelles. Die Klausurergebnisse finden Sie hier.; Die Zentralübung fällt am Mittwoch, dem 03.02.2021, aus.

Für konkave Funktionen gilt die Ungleichung in umgekehrte Richtung. Reduktion auf Konvexität reeller Funktionen. Der Urbildraum einer konvexen Funktion kann ein beliebiger reeller Vektorraum sein, wie zum Beispiel der Vektorraum der reellen Matrizen oder der stetigen Funktionen.

Dann ist jede konvexe Funktion f : Ω → R stetig in int(Ω). Beweis: Siehe Literatur   Beweis.

R mit f(x) = ˆ Ist f zweimal st uckweise stetig di erenzierbar, so ist (strikte) Konvexit at aquivalent zu f00(x) (>) 0 f ur alle x 2D bis auf isolierte Punkte. Die Summe konvexer Funktionen ist konvex. Die Operationen ;;= sowie die Hintereinanderschaltung erhalten die Konvexit at im allgemeinen nicht. Schlieˇlich ist jede konvexe Funktion stetig. Es sei K n eine konvexe Menge und f : K eine Funktion.